42. Se da una circunferencia y una recta XY. Se pide construir una secante perpendicular a la recta de modo que uno de sus puntos de intersección con la circunferencia sea el punto medio del segmento limitado por el segundo punto de intersección y la recta XY.

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que la circunferencia dada tiene su centro en el origen de coordenadas, y que la recta dada es paralela al eje x y corta al eje y en el punto A(0, b). Sea x=a la recta perpendicular buscada. Los puntos de intersección de la recta x = a con la circunferencia x² + y² = R² vienen dados por y = (R² - a²)^1/2. La condición del enunciado exige que b - (R² - a²)^1/2 = 2 (R² - a²)^1/2, de donde b = 3 (R² - a²)^1/2, y por tanto a²=R² - (b/3)². Esta relación modifica la siguiente construcción:

1. Dados la circunferencia y la recta trazamos una perpendicular a la recta pasando por el centro O de la circunferencia y cortando en A a la recta.
2. Obtenemos el punto B sobre OA tal que OB = (1/3)·OA.
3. Trazamos la circunferencia con diámetro OC, siendo C el punto de intersección de la circunferencia dada con el segmento OA.
4. Trazamos también la circunferencia con radio OB, y hallamos el punto D de intersección de estas dos circunferencias.
5. Con centro en C y radio CD trazamos una circunferencia que corta en E a la recta tangente en C a la circunferencia dada.
6. La perpendicular por E a la recta dada es la secante buscada. En la figura tenemos FG = GH.