31. Dado un triángulo ABC se prolongan los lados AB y AC en longitudes iguales BD = CE. Demostrar que DE es mayor que BC.

(En la figura suponemos, sin pérdida de generalidad, que el ángulo C es mayor que B.)

Trazamos BF y FE paralelas a CE y BC respectivamente. Tenemos los ángulos ÐFBD = ÐA, ÐFBD =(180º - ÐA)/2 = (ÐB + ÐC)/2, ÐBFE = 180º- ÐC. Sumando, tenemos ÐDFE=180º -(ÐC - ÐB)/2, que es mayor o igual que 90º. Entonces en el triángulo DFE el ángulo F es obtuso o rectángulo, por lo que su lado opuesto DE debe ser mayor que el lado FE, que a su vez es igual a BC.