Estos
son dos resultados que se conocen como teorema de Thales (Thales de Mileto,
624-547 a.C.):
- Cuando dos rectas paralelas cortan a dos
rectas secantes, determinan en éstas segmentos proporcionales
- El ángulo inscrito en un semicircunferencia
es recto.
Cuando dos rectas paralelas cortan a dos rectas
secantes, determinan en éstas segmentos proporcionales
En la figura siguiente las paralelas BC y DE cortan a
las secantes AB y AC. Además se han trazado las
alturas DK y EH del triángulo ADE. Representamos
con (XYZ) el área del triángulo XYZ.
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(BDE) = (CED) pues ambos triángulos tienen
la misma base DE y la misma altura (distancia entre paralelas).
(ADE) = (1/2) AD HE = (1/2) AE
DK
(BDE) = (1/2) BD HE;
(CED) = (1/2) CE DK
(ADE) : (BDE) = (ADE) : (CED)
AD : BD = AE
: CE
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El ángulo inscrito en una semicírcunferencia
es recto.
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El teorema de Thales dice que el ángulo A
es recto, pues está inscrito en una semicircunferencia.
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Thales pudiera haber usado esta figura para demostrar
el teorema.
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Sir Thomas L. Heath, en su libro Greek Mathematics aventura
que Thales podía haber demostrado el teorema razonando de la
siguiente manera sobre la figura del rectángulo ABCD:
Como en los triángulos ADC, BCD,
los lados AD, DC son iguales a BC, CD respectivamente,
y los ángulos comprendidos (ambos rectos) son iguales, los triángulos
son iguales en todos los aspectos. Por tanto, el ángulo ACD
(o sea, OCD) es igual al ángulo BDC (o sea,
ODC). De aquí se deduce, por el recíproco de la
proposición 5 del Libro I de los Elementos de Euclides,
conocido por Thales, que OC = OD. De forma similar se
podría demostrar que OD=OA. Por tanto, OA,
OD, OC (y OB) son todos iguales, y una circunferencia
con centor O y centro OA pasaría por B, C y D. Ahora, AOC,
por ser una linea recta, es un diámetro de la circunferencia
y ADC es una semicircunferencia. El ángulo ADC
es un ángulo inscrito en una circunferencia y es recto por hipótesis.
A continuación se muestra la demostración que aparece en
la Proposición 32 del Libro III de los Elementos de Euclides:
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Como OA y OB son iguales, los ángulos ABO
y BOA también son iguales y como OA y OC
son iguales, los ángulos OAC y OCA son iguales.
Por tanto, BAC es la suma de ABC y ACB.
Teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos de un
triángulo BAC debe ser recto. |
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