El Quinto Postulado de Euclides
  El Quinto Postulado de Euclides, incluido en los Elementos, afirma que
Si una secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores cuya suma es menor que dos rectos, las dos rectas, suficientemente prolongadas se cortan en este mismo lado.
Con este enunciado, el postulado parece un teorema o proposición, es decir algo que podemos demostrar a partir de axiomas y otros teoremas más básicos. Euclides no lo vio así y no sólo lo introdujo como axioma sino que no lo usa hasta la Proposción 29.

Muchos otros geómetras que vinieron después intentaron eliminar el quinto postulado de la lista de axiomas y demostrarlo a partir de los demás: Nasir ed Din et Tusi (siglo XIII), Wallis (1616-1703), Saccheri (1667-1733), Lambert (1728-1777), Legendre (1752-1883) y muchos otros.

El Quinto Postulado se puede enunciar equivalentemente de la siguiente forma:

Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una paralela a dicha recta.
En muchos casos la demostración que se conseguía se basaba en alguna propiedad que se consideraba evidente pero que en realidad era equivalente al quinto postulado. Algunos de los enunciados que se han dado equivalentes al quinto postulado son éstos:
  • Una paralela a una recta dada dista de ella una longitud constante (Proclo).
  • Existen triángulos semejantes (pero no iguales), es decir triángulos cuyos ángulos son iguales pero de lados desiguales (Wallis).
  • Existe al menos un rectángulo, esto es, un cuadrilátero cuyos ángulos son rectos (Saccheri).
  • Una recta perpendicular a un lado de un ángulo agudo también corta al otro lado (Legendre).
  • La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos (Legendre).
  • Existen triángulos de área arbitrariamente grande (Gauss).
Todos estos intentos por demostrar el quinto postulado motivaron el encuentro de unas nuevas geometrías, las llamadas geometrías no euclídeas. El mérito de haber llegado hasta el final lo comparten Johann Boyai (1802-1860), Carl F. Gauss (1777-1855) y Nicolai I. Lovachevski (1793-1856).