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La
Circunferencia de los Nueve Puntos
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La
circunferencia de los nueve puntos de un triángulo, llamada
así por J.V. Poncelet, queda definida por el siguiente teorema:
En cualquier triángulo, los pies de las tres alturas, los puntos medios de los lados y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices con el ortocentro, están en una misma circunferencia, cuyo radio es la mitad del de la circunferencia circunscrita.A la circunferencia de los nueve puntos se la conoce también como circunferencia de Euler o circunferencia de Feuerbach (Karl Feuerbach, 1800-1834). En la siguiente figura, en la que hemos dibujado el triángulo ABC, las alturas AA', BB' y CC' se cortan en el ortocentro H y P, Q y R son los puntos medios de los lados AB, BC y CA. Asimismo, U, V y W son los puntos medios de los segmentos AH, BH y CH. La circunferencia de los nueve puntos se muestra en rojo. 
El centro N de la circunferencia de los nueve puntos está situado en la recta de Euler, equidistante del ortocentro H y del circuncentro O.Recordemos que la recta de Euler contiene al ortocentro, baricentro y circuncentro de cualquier triángulo. Otra propiedad de la circunferencia de los nueve puntos es el teorema de Feuerbach: La circunferencia de los nueve puntos es tangente tanto a la circunferencia inscrita como a las tres circunferencias exinscritas al triángulo. 
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