Teoremas. Son enunciados de propiedades geométricas, que llevan el nombre de su descubridor o bien del que primero dio una demostración.

Elementos. Son los puntos, rectas, triángulos, etc. que se obtienen como resultado de los teoremas como los incluidos en la sección anterior, y que por lo general, tambien llevan nombre propio.

Construcciones. Algunos ejemplos de construcciones geométricas que por su complejidad o historia pueden resultar interesantes.

Conceptos. Aquí se recuerda la definición de algunos conceptos y propiedades geométricas que es conveniente conocer para comprender las secciones anteriores. También hay material sobre temas interesantes.

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Teoremas: Brianchon  Ceva  Desargues  Menelao   Morley   Pappus  Pascal   Pitágoras  Ptolomeo  Thales  Varignon

Elementos: Circunferencia de los Nueve Puntos  Circunferencias de Apolonio  Recta de Euler  Punto de Fermat  Punto de Gergonne Circunferencias de Miquel  Punto de Nagel  Circunferencias de Soddy Rectas de Wallace-Simson  Triángulos de Napoleón

Construcciones: Problema de Apolonio  Problema de Malfatti

Conceptos: Elementos de Euclides  Libro I de los Elementos   El árbelos  Geometría Proyectiva y dualidad  Conceptos sobre circunferencias

Bibliografía

Enlaces
 
 

Entre los que sí están puedes encontrar el teorema de Ceva, sobre concurrencia y el teorema de Menelao, sobre alineación.

Como teorema de Thales se presentan dos enunciados, uno, la base de la semejanza de triángulos y otro, sobre ángulos en una circunferencia.

Se presentan también varios teoremas del campo de la geometría proyectiva como lo son el teorema de Pascal y su dual, el teorema de Brianchon. Tampoco podían faltar sobre este tema el teorema de Desargues y el teorema de Pappus.

Como no todo va a ser geometría proyectiva, también nos encontraremos algunos teoremas métricos, bastante antiguos: el teorema de Pitágoras y el teorema de Ptolomeo.

Para terminar un curiosísimo teorema sobre triángulos (el teorema de Morley) y otro sobre cuadriláteros (el teorema de Varignon).

Las diagonales de un exágono circunscrito a una cónica se cortan en un punto.

El teorema de Brianchon es el teorema dual del teorema de Pascal. ¿Qué es un teorema dual? Consulta el tema Geometría proyectiva y dualidad.

Casos límite

Haciendo concidir dos lados consecutivos del exágono en uno solo y sustituyendo el vértice desaparecido por el punto de contacto, obtenemos que

En todo pentágono circunscrito a una cónica, la recta que une un vértice con el punto de contacto del lado opuesto, y las diagonales que unen los otros vértices no consecutivos, son tres rectas que concurren en un mismo punto.

En todo cuadrilátero circunscrito a una cónica, si se toman los puntos de contacto de dos lados que se cortan en un vértice, la recta de unión de este con su opuesto y las de unión de los puntos de contacto con los otros dos vértices son tres rectas que concurren en un mismo punto.

En todo cuadrilátero circunscrito a una cónica, las dos diagonales y las rectas que unen los puntos de contacto de lados opuestos son cuatro rectas que concurren en un punto.

En todo triángulo circunscrito a una cónica, las rectas que unen los vértices con los puntos de contacto de los lados opuestos son tres rectas que concurren en un punto.

Aquí podemos ver tres cevianas de un triángulo cumpliendo el teorema de Ceva.

Si las tres cevianas AX, BY y CZ son concurrentes, entonces

La siguiente demostración se basa en que las áreas de los triángulos con alturas iguales son proporcionales a las bases de los triángulos. Supongamos que las tres cevianas AX, BY y CX se cortan en un punto P.

Supongamos que las tres cevianas AX, BY y CZ cumplen 
Entonces las tres cevianas son concurrentes.

Si dos triángulos están en perspectiva desde un punto, entonces están en perspectiva desde una recta.

Si dos triángulos están en perspectiva desde un punto, y si sus pares de lados correspondientes se cortan, entonces los tres puntos de intersección están alineados.

Esta otra muestra otra configuración del teorema de Desargues:

El recíproco del teorema de Desargues también es cierto:

Si dos triángulos están en perspectiva desde una recta, y si cada par de vértices correspondientes están unidos por rectas que se cortan, los triángulos están en perspectiva desde el punto de intersección de estas rectas.

Sean X, Y y Z puntos respectivamente sobre los lados BC, AC y AB (o sus prolongaciones). Entonces, una condición necesaria y suficiente para que los puntos X, Y, Z estén alineados es que

Considerando signos en las medidas de los segmentos, de manera que, en general,   la igualdad anterior la podemos expresar así:

Los puntos de intersección de las rectas que dividen en tres partes iguales los ángulos de cualquier triángulo son los vértices de un triángulo equilátero.

Si los puntos A, B y C están en una recta, los puntos A', B' y C' en otra y las rectas AB', BC' y CA' cortan a las rectas BA', CB' y AC', entonces los puntos de intersección están alineados.

Si los seis vértices de un exágono están situados en una cónica y los tres pares de lados opuestos se cortan, entonces los puntos de intersección están alineados.

A continuación vemos cómo se cumple el teorema de Pascal en una elipse y en una parábola.

Este teorema puede demostrarse usando el teorema de Menelao. El teorema dual del teorema de Pascal es el teorema de Brianchon.

El teorema de Pascal no acaba aquí. Porque dados seis puntos,  no podemos hablar sólo de una recta de Pascal.

A partir de 6 puntos es posible considerar 60 exágonos diferentes, que por el Teorema de Pascal dan lugar a 60 rectas de Pascal. Estas rectas pasan tres a tres por 20 puntos, llamados puntos de Steiner. A su vez, estos 20 puntos están cuatro a cuatro en 15 rectas llamadas rectas de Plücker.

Las rectas de Pascal también se cortan tres a tres en otro conjunto de puntos, llamados puntos de Kirkman, de los que hay 60. Asociado a cada punto de Steiner hay tres puntos de Kirkman tales que los cuatro están en una recta, llamada recta de Cayley. En total hay 20 rectas de Cayley, que concurren cuatro a cuatro en 15 puntos, llamados puntos de Salmon.

Casos límite

El teorema de Pascal admite casos límite haciendo coincidir dos vértices contiguos del exágono y sustituyendo el lado correspondiente por la recta tangente por el punto correspondiente.

Por ejemplo,

En todo pentágono inscrito en una cónica, el punto común a la tangente por un vértice y el lado opuesto y los puntos de intersecciòn de los otros lados no consecutivos, son tres puntos alineados.

Para un cuadrilátero podemos expresar

En todo cuadrilátero inscrito en una cónica, si se trazan tangentes en vértices extremos de un lado, el punto de intersección de este con su opuesto y los puntos de intersección de cada una de las tangentes con el lado que pasa por el punto de contacto de la otra, son tres puntos en línea recta.

O también

En todo cuadrilátero inscrito en una cónica, los puntos de intersección de los lados opuestos y los de intersección de tangentes en vértices opuestos son cuatro puntos en línea recta.

En todo triángulo inscrito en una cónica, los puntos de intersección de los lados con las tangentes trazadas en los vértices opuestos son tres puntos en línea recta.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

La demostración que aparece en los Elementos de Euclides se basa en la figura conocida como molino de viento:
 

Sea ABC el triángulo rectángulo, recto en A. Trazamos los cuadrados BDEC, BFGA y CKHA. Trazamos AL paralela a BD y unimos  AD and FC. Como BAC y BAG son rectos, G, A y C están alineados.También lo están B, A y H. Como DBC y FBA son ambos ángulos rectos, al añadir a ambos ABC, DBA y FBC son triángulos iguales. El rectángulo BDLI es el doble del triángulo ABD, pues tienen la misma base BD y están entre las mismas paralelas BD y AL. El cuadrado BFGA es el doble del triángulo FBC pues tienen la misma base FB y están entre las mismas paralelas FB y GC. Entonces el paralelogramo BDLI es paralelo al cuadrado GB. De forma similar, uniendo AE y BK, el trapecio CILE es igual al cuadrado CKHA. Por tanto el cuadrado BDEC es la suma de los cuadrados BFGA y CKHA.

 
 

Si el cuadriángulo ABCD está inscrito en una circunferencia (Fig. 1), entonces la suma de los productos de lados opuestos es igual al producto de las diagonales:

1. Cuando dos rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, determinan en éstas segmentos proporcionales
2. El ángulo inscrito en un semicircunferencia es recto.

Cuando dos rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, determinan en éstas segmentos proporcionales

En la figura siguiente las paralelas BC y DE cortan a las secantes AB y AC. Además se han trazado las alturas DK y EH del triángulo ADE. Representamos con (XYZ) el área del triángulo XYZ.
 

(BDE) = (CED) pues ambos triángulos tienen la misma base DE y la misma altura (distancia entre paralelas). (ADE) = (1/2) AD HE = (1/2) AE DK (BDE) = (1/2) BD HE;    (CED) = (1/2) CE DK (ADE) : (BDE) = (ADE) : (CED) AD : BD = AE : CE

El ángulo inscrito en una semicírcunferencia es recto.
 

El teorema de Thales dice que el ángulo A es recto, pues está inscrito en una semicircunferencia.	Thales pudiera haber usado esta figura para demostrar el teorema.

Sir Thomas L. Heath, en su libro Greek Mathematics aventura que Thales podía haber demostrado el teorema razonando de la siguiente manera sobre la figura del rectángulo ABCD:

Como en los triángulos ADC, BCD, los lados AD, DC son iguales a BC, CD respectivamente, y los ángulos comprendidos (ambos rectos) son iguales, los triángulos son iguales en todos los aspectos. Por tanto, el ángulo ACD (o sea,  OCD) es igual al ángulo BDC (o sea, ODC). De aquí se deduce, por el recíproco de la proposición 5 del Libro I de los Elementos de Euclides, conocido por Thales, que OC = OD. De forma similar se podría demostrar que OD=OA. Por tanto, OA, OD, OC (y OB) son todos iguales, y una circunferencia con centor O y centro OA pasaría por B, C y D. Ahora, AOC, por ser una linea recta, es un diámetro de la circunferencia y ADC es una semicircunferencia. El ángulo ADC es un ángulo inscrito en una circunferencia y es recto por hipótesis.

Como OA y OB son iguales, los ángulos ABO y BOA también son iguales y como OA y OC son iguales, los ángulos OAC y OCA son iguales. Por tanto, BAC es la suma de ABC y ACB. Teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos de un triángulo BAC debe ser recto.

La figura formada cuando se unen en el orden dado los puntos medios de un cuadriángulo, es un paralelogramo, y su área es la mitad de la del cuadriángulo.

Los puntos aparecen normalmente como intersección de varias rectas o de varias circunferencias.
Podrás ver aquí los puntos de Fermat, Gergonne, Nagel y dos puntos de Malfatti.

Las rectas se obtienen tres o más puntos resultan estar alineados. Así nos encontramos la interesante recta de Euler, la recta de Lemoine o las rectas de Wallace-Simson.

El punto de Brianchon y la recta de Pascal pueden verse en la sección Teoremas.

Por último, las circunferencias de interés nos las econtramos cuando cuatro o más puntos resultan ser concíclicos. Esto ocurre de forma aplastante con la famosa Circunferencia de los  Nueve Puntos. Otras circunferencias aparecen como lugares geométricos (conjunto de puntos que cumplen una propiedad), como lo son las Circunferencias de Apolonio. Como solución a un determinado problema están las Circunferencias de Soddy y como circunferencias que cumplen una propiedad las Circunferencias de Miquel.

Aunque fuera solo por el nombre, también puedes echarle un vistazo a los triángulos de Napoleón.
 

En cualquier triángulo, los pies de las tres alturas, los puntos medios de los lados y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices con el ortocentro, están en una misma circunferencia, cuyo radio es la mitad del de la circunferencia circunscrita.

En la siguiente figura, en la que hemos dibujado el triángulo ABC, las alturas AA', BB' y CC' se cortan en el ortocentro H y P, Q y R son los puntos medios de los lados AB, BC y CA. Asimismo, U, V y W son los puntos medios de los segmentos AH, BH y CH. La circunferencia de los nueve puntos se muestra en rojo.

El centro N de la circunferencia de los nueve puntos está situado en la recta de Euler, equidistante del ortocentro H y del circuncentro O.

Otra propiedad de la circunferencia de los nueve puntos es el teorema de Feuerbach:

La circunferencia de los nueve puntos es tangente tanto a la circunferencia inscrita como a las tres circunferencias exinscritas al triángulo.

Apolonio (Apolonio de Perga, 262-190 a.C.), estableció que:

El lugar geométrico de los puntos cuya distancia desde un punto fijo es un múltiplo de su distancia desde otro punto fijo es una circunferencia.

En la siguiente figura podemos ver la circunferencia de Apolonio que se obtiene al considerar los puntos que distan de A el doble que de B. Las circunferencias concéntricas nos permiten calcular puntos de la circunferencia de Apolonio:

Así, C dista 4 unidades de A y 2 de B; D dista 6 unidades de A y 3 de B, etc. Estos puntos determinan la circunferencia buscada.

Circunferencias de Apolonio en un triángulo

Dado un lado de un triángulo y la razón de longitudes de los otros dos lados, el lugar geométrico del tercer vértice es el círculo de Apolonio, cuyo centro esta en la extensión del lado dado. Para un cierto triángulo, hay tres circunferencias de Apolonio.

En la figura siguiente se muestran las tres circunferencias de Apolonio del triángulo ABC. Puede observarse en la figura que, por ejemplo, el centro U de uno de los círculos es la intersección de la recta tangente en el punto A a circunferencia circunscrita con la prolongación del lado opuesto BC. De forma análoga pueden obtenerse los centros V y W de las otras circunferencias.

Recta de Lemoine

En la figura anterior puede apreciarse que los centros de las circunferencias Apolonio de un triángulo están alineados. La recta que los contiene se llama recta de Lemoine (Emile Michel Hyacinthe Lemoine 1840-1912).

Se llama recta de Euler de un triángulo a la recta que contiene a su baricentro, circuncentro y ortocentro.

El circuncentro O es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Hay sólo una circunferencia circunscrita a un triángulo, ya que una circunferencia queda determinada por tres puntos. El circuncentro es el único punto que está a la misma distancia de los tres vértices, por lo que coincide con la intersección de las tres mediatrices del triángulo. Recordemos que se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a éste que pasa por el punto medio.En la siguiente figura se han trazado el triángulo ABC, la mediana CM que contiene el baricentro G y la circunferencia circunscrita con centro O.

1. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto H.
2. El ortocentro H, el baricentro G y el circuncentro O están alineados. A la recta que los continene se la conoce como recta de Euler.
3. G es un punto de trisección del segmento HO.

 
Si construimos triángulos equiláteros externamente sobre los lados de un triángulo, las circunferencias circunscritas a dichos triángulos tienen un punto común.

Si unimos los vértices de un triángulo con los puntos de tangencia de su circunferencia circunscrita en los lados opuestos se obtienen rectas concurrentes.

Consideremos tres círculos k, l, m y con un punto común M y que Sean P, Q y R los otros puntos comunes de l,m, k,m y  k,l respectivamente. Consideremos cualquier punto A de la circunferencia k; lo unimos con R y prolongamos hasta cortar a la circunferencia l en B. Ahora unimos BP y prolongamos hasta cortar el círculo m en C. Entonces, los puntos A, Q y  C están alineados.

También podemos enunciar el resultado anterior al revés:

Si A, B, C son los vértices de un triángulo y P, Q, R son puntos de los respectivos lados opuestos, se llaman circunferencias de Miquel a cada una de las circunferencias que pasan por un vértice y los puntos intermedios de los lados vecinos: ARQ, BPR y CQP.

El teorema de Miquel establece que

Las tres circunferencias de Miquel son concurrentes en un punto

Las rectas que unen los vértices de un triángulo con los correspondientes puntos de tangencia de las circunferencias exinscritas son concurrentes.

Hay exactamente dos circunferencias tangentes a las tres circunferencias dadas.

Frederick Soddy publicó en la revista Nature (el 20 de Junio de 1936, p. 1021) el poema The Kiss Precise (El beso exacto). En este poema, Soddy  relaciona los radios de las tres circunferencias tangentes y sus correspondientes circunferencias de Soddy. A continuación se incluyen el original en inglés y la traducción que aparece en el artículo Esferas y semiesferas de Martin Gardner en su libro Circo Matemático (Alianza Editorial).
 

Pueden besarse los labios, dos a dos, sin mucho calcular, sin trigonometría; mas ¡ay! no sucede igual en la Geometría, pues si cuatro círculos tangentes quieren ser y besar cada uno a los otros tres, para lograrlo habrán de estar los cuatro o tres dentro de uno, o alguno por los tres a coro rodeado. De estar uno entre tres, el caso es evidente pues tres veces son todos besados desde afuera. Y el caso tres en uno no es quimera al ser este uno por tres veces besado internamente. Cuatro círculos llegaron a besarse, cuanto menores tanto más curvados, y es su curvatura tan sólo la inversa de la distancia desde el centro. Aunque este enigma a Euclides asombrara, ninguna regla empírica es necesaria: al ser las rectas de nula curvatura y ser las curvas cóncavas tomadas negativas, la suma de los cuadrados de las cuatro curvaturas es igual al un medio del cuadrado de su suma. Espiar de las esferas los enredos amorosos pudíerale al inquisidor requerir cálculos tediosos, pues siendo las esferas más "corridas" a más de un par de pares una quinta entra en la movida. Empero, siendo signos y ceros como antes para besar cada una a las otras cuatro el cuadrado de la suma de las cinco curvaturas ha de ser el triple de la suma de sus cuadrados.                                                         - Frederick Soddy No debemos empero confinar nuestros cuidados a los simples círculos, esferas y planos, sino elevarnos a n-espacios e hipercurvaturas dodne también las múltiples tangencias son seguras. En n-espacios, los pares de tangentes son hiperesferas, y es en verdad -mas no evidente- cuando n+2 de tales se osculean cada una con n+1 compañeras  que el cuadrado de la suma de todas las curvaturas es n veces la suma de sus cuadrados.                                                            - Thorold Gosset

For pairs of lips to kiss maybe Involves no trigonometry. 'T is not so when for circles kiss Each one the other three. To bring this off the four must be: As three in one or one in three. If one in three, beyond a doubt Each gets three kisses from without. If three in one, then is that one Thrice kissed internally.   Four circles to the kissing come. The smaller are the benter. The bend is just the inverse of The distance form the center. Though their intrigue left Euclid dumb There's now no need for rule of thumb. Since zero's bend's a dead straight line And concave bends have minus sign, The sum of the squares of all four bends Is half the square of their sum.   To spy out spherical affairs An oscular surveyor Might find the task laborious, And now besides the pair of pairs A fifth spere in the kissing shares. Yet, signs and zero as before, For each to kiss the other four The quare of the sum of all five bends Is thrice the sum of their squares.                                - Frederick Soddy       And let us not confine our cares To simple circles, planes and spheres, But rise to hyper flats and bends Where kissing multiple appears. In n-ic space the kissing pairs Are hyperspheres, and Truth declares- As n + 2 such osculate Each with an n + 1-fold mate. The square of the sum of all the bends Is n times the sum of their squares.                                 - Thorold Gosset

 

En general, dado un triángulo ABC, cuando trazamos perpendiculares desde un punto P a los lados del triángulo, al unir los pies de dichas perpendiculares obtenemos el llamado triángulo pedal. Resulta que cuando P está en la circunferencia circunscrita a ABC, estos puntos puntos están alineados, y el triángulo pedal es degenerado. A la recta que une los tres pies se le llama recta de Wallace-Simson,

Los pies de las perpendiculares desde un punto a  los lados de un triángulo están alineados si y solo si el punto está situado en la circunferencia circunscrita.

Jakob Steiner demostró en 1856 que si trazamos todas las rectas de Wallace-Simson correspondientes a los diferentes puntos P de la circunferencia circunscrita, la envolvente de todas ellas es

una curva especial de tercera clase y cuarto grado
que tiene la recta del infinito como doble tangente ideal
que es tangente a los tres lados y a las tres alturas del triángulo
que tiene tres puntos de retroceso
y que las tres tangentes en ellos se cortan en un punto.

Dado un triángulo cualquiera, construimos externamente triángulos equiláteros sobre sus lados. Se llama triángulo exterior de Napoleón al triángulo que resulta de unir los centros de dichos triángulos equiláteros.

El triángulo exterior de Napoleón es equilátero.

De forma similar, dado un triángulo cualquiera, construimos internamente triángulos equiláteros sobre sus lados. Se llama triángulo interior de Napoleón al triángulo que resulta de unir los centros de dichos triángulos equiláteros.

El triángulo interior de Napoleón es equilátero.

Este problema fue propuesto por Gian Francesco Malfatti (1731-1807) y resuelto en el décimo volumen de Memorie di Matematica e di Fisica della Società italiana delle Scienze..

A continuación se muestra una forma, algo complicada, de resolver el problema de Malfatti:

• Las rectas azules son las bisectrices interiores del triángulo dado, que se cortan en el incentro de dicho triángulo.
• Si llamamos I a dicho incentro, que en la figura aparece como un punto azul gordo, hemos llamado U, V y W a los incentros de los triángulos ABI, BCI y CAI, respectivamente.
• Con lineas grises, están unidos los puntos U, V y W.
• La bisectriz (azul) que pasa por A corta a la recta VW en P.
• La recta roja que pasa por P se obtiene de la siguiente manera: Se traza la perpendicular a WV que pasa por P y se hace la simetría de la bisectriz que por A respecto de esta perpendicular. De forma similar se obtienen las rectas rojas por Q y R. Las tres rectas rojas son concurrentes en un punto M, que en la figura aparece como un punto rojo gordo.
• La recta roja que es simétrica de la bisectriz que pasa por A corta al lado opuesto en D. De forma análoga, las otras rectas rojas cortan a los lados correspondientes en E y F.
• Los cuadriláteros AFME, FBDM y MDCE son circunscriptibles: tienen la propiedad de poder inscribir un círculo en cada uno de ellos y esos son los círculos que buscamos.

Puntos de Malfatti

Los círculos de Malfatti cumplen la siguiente propiedad: las rectas que unen los vértices con los puntos de tangencia de los círculos se cortan en un punto, que se llama primer punto de Malfatti.

Dados tres objetos que pueden ser, cada uno de ellos, puntos, rectas o circunferencias, dibujar una circunferencia tangente a las tres.

1. Tres puntos
2. Tres rectas
3. Dos puntos y una recta
4. Dos rectas y un punto
5. Dos puntos y una circunferencia
6. Dos circunferencias y un punto
7. Dos rectas y una circunferencia
8. Dos circunferencias y una recta
9. Un punto, una recta y una circunferencia
10. Tres circunferencias

Trazar una circunferencia que pase por tres puntos dados.

Trazar una circunferencia que sea tangente a tres rectas dadas.

En el caso de que dos de las rectas dadas sean paralelas y la tercera sea secante a ambas, se obtienen dos soluciones: trazamos la paralela media a las dos rectas paralelas dadas y hallamos la intersección de esta paralela con las bisectrices de los ángulos formados con la recta secante.

Dados dos puntos y una recta, hallar una circunferencia que pase por los dos puntos y sea tangente a la recta.

Otra posibilidad es que, siendo los puntos exteriores a la recta dada, estén ambos en el mismo lado y no estén en una paralela a dicha recta:

Por último, consideremos el caso en el que uno de los dos puntos, digamos B, está en la recta dada.

Dadas dos rectas y un punto, hallar una circunferencia que pase el punto y sea tangente a las recta.

Si el punto dado pertenece a una de las rectas dadas, trazamos las bisectrices de los ángulos determinados por las dos rectas, y por el punto dado A trazamos una perpendicular a la recta que lo contiene. Esta perpendicular cortará a las bisectrices en los centros de las circunferencias buscadas.

La figura siguiente muestra la construcción los casos sencillos en que las dos rectas dadas sean paralelas. El punto A está comprendido entre ambas rectas, por lo que trazamos una circunferencia con centro A y diámetro igual a la distancia entre las rectas. De esta forma obtenemos los centros de las dos soluciones en la intersección con la paralela media. El punto B está en una de las dos rectas dadas, por lo que  hallamos el centro de la circunferencia solución como intersección de la paralela media y la perpendicular a cualquiera de las dos rectas paralelas por dicho punto B.

Dados dos puntos y una circunferencia, hallar una circunferencia que pase por los dos puntos y sea tangente a la circunferencia dada.

Hallamos la mediatriz del segmento AB y una circunferencia cualquiera que pase por estos dos puntos y corte a la circunferencia dada. Seguidamente hallamos el punto de intersección M del eje radical de las dos circunferencias con la recta AB.  Desde el punto M trazamos las rectas tangentes a la circunferencia dada, siendo los puntos de tangencia P y Q también puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Para hallar sus centros obtenemos la intersección de la mediatriz del segmento AB con las rectas que unen P y Q con el centro de la circunferencia dada.

Si uno de los puntos, digamos el punto B, está en la circunferencia dada, la construcción también es la misma tanto si el punto A es exterior o interior a la circunferencia dada:
 

En este caso unimos B con el centro de la circunferencia dada y hallamos la intersección de la recta obtenida con la mediatriz del segmento AB. De esa manera obtenemos el centro de la circunferencia buscada.
 
 
 
 

Dados un punto y dos circunferencias, hallar una circunferencia que sea tangente a las dos circunferencias y pase por el punto.

En el caso de que el punto dado P pertenezca a una de las circunferencias se resuelve también a partir de los los centros de homotecia H y K. Desde H trazamos una recta que pase por P, cortando a la otra circunferencia en M, que resulta ser el punto de tangencia de una de las circunferencias buscadas.  Para encontrar el centro de esa circunferencia, hallamos la intersección de las rectas que unen los centros de las circunferencias con sus respectivos puntos de tangencia M y P. Para obtener la otra circunferencia, hacemos lo mismo con K, el otro centro de homotecia.

Dadas dos rectas y una circunferencia, hallar una circunferencia que sea tangente a las dos rectas y a la circunferencia.

En el caso de que la circunferencia dada sea tangente a una de las rectas, también hay cuatro soluciones, dos de las cuales, las que corresponden a la paralela auxiliar exterior se obtienen como antes. Las otras dos se reducen caso de dos rectas que se cortan, conocido el punto de tangencia de una de ellas (dos rectas y un punto).

Dadas dos circunferencias y una recta, hallar una circunferencia que sea tangente a las dos circunferencias y a la recta.

Así, estas cuatro circunferencias se han obtenido considerando una circunferencia concéntrica de radio R+r; de las cuatro circunferencias, dos se obtienen con una de las paralelas y las otras dos con la otra.

Estas cuatro circunferencias solución se obtienen considerando ahora una circunferencia concéntrica de radio R-r y de nuevo, dos con una de las paralelas y otras dos con la otra.

Aquí podemos ver las ocho soluciones en una misma figura.

Dados un punto, una recta y una circunferencia, hallar una circunferencia que pase por el punto y sea tangente tanto a la recta como a la circunferencia.

A continuación se muestra la construcción en el caso en que el punto dado P esté en la recta dada:

Por último, veamos el caso en que el punto dado P está en la circunferencia dada.

¿Como se han obtenido estas soluciones? En primer lugar,  calculamos los seis centros de homotecia (tres internos y tres externos) de los tres círculos. Estos seis puntos resultan estar en cuatro rectas. Tomamos una de estas rectas y hallamos el polo respecto de cada una de las tres circunferencias. Unimos el centro radical de las circunferencias con los tres polos y obtenemos los puntos de tangencia de las circunferencias buscadas con las circunferencias dadas.  Ahora basta elegir convenientemente entre los seis puntos de tangencia encontrados para trazar dos circunferencias tangentes. Este mismo proceso se repite con las otras tres rectas determinadas por los centros de homotecia y obtenemos las ocho soluciones al problema de Apolonio.

A continuación puedes ver una animación mostrando la construcción anterior.

Si los círculos de partida son mutuamente tangentes, entonces las ocho soluciones se confunden en dos, llamadas circunferencias de Soddy.
 
 

En primer lugar, aquí puedes leer sobre los Elementos de Euclides. En particular, sobre el postulado de las paralelas o el contenido del Libro I.

También puedes ver las interesantes propiedades del árbelos, figura estudiada por Arquímedes.

Varios de los teoremas vistos aquí tienen que ver sobre la geometría proyectiva y la dualidad dentro de dicha geometría. Aquí hay un tema sobre Geometría proyectiva y dualidad.

Para resolver algunos casos del problema de Apolonio se necesitan algunos conceptos sobre circunferencias como centros de homotecia entre  circunferencias, eje y centro radical, etc.
 
 

Los Elementos están divididos en trece libros.

• Los seis primeros son de geometría elemental;
• Le siguen tres libros de teoría de números
• El libro X trata de los inconmesurables
• Los tres últimos principalmente de geometría de sólidos.

• Definiciones
• Nociones comunes
• Postulados
• Proposiciones.

Entre los postulados, quizá el más importante y sorprendente sea el quinto postulado o postulado de las paralelas. Como ejemplo de proposición, puedes ver el teorema de Pitágoras, (proposición 47 del libro I).

Para ver las definiciones, nociones comunes y postulados del libro I, pulsa aquí.

Si una secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores cuya suma es menor que dos rectos, las dos rectas, suficientemente prolongadas se cortan en este mismo lado.

Muchos otros geómetras que vinieron después intentaron eliminar el quinto postulado de la lista de axiomas y demostrarlo a partir de los demás: Nasir ed Din et Tusi (siglo XIII), Wallis (1616-1703), Saccheri (1667-1733), Lambert (1728-1777), Legendre (1752-1883) y muchos otros.

El Quinto Postulado se puede enunciar equivalentemente de la siguiente forma:

Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una paralela a dicha recta.

• Una paralela a una recta dada dista de ella una longitud constante (Proclo).
• Existen triángulos semejantes (pero no iguales), es decir triángulos cuyos ángulos son iguales pero de lados desiguales (Wallis).
• Existe al menos un rectángulo, esto es, un cuadrilátero cuyos ángulos son rectos (Saccheri).
• Una recta perpendicular a un lado de un ángulo agudo también corta al otro lado (Legendre).
• La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos (Legendre).
• Existen triángulos de área arbitrariamente grande (Gauss).

Definición 1. Un punto es lo que no tiene partes.

Definición 2. Un segmento es una longitud sin anchura.

Definición 3. Las extremidades de una segmento son puntos.

Definición 4. Una recta es una línea que yace por igual respecto de todos sus puntos.

Definición 5. Una superficie es lo que solo tiene longitud y anchura.

Definición 6. Las extremidades de una superficie son líneas.

Definición 7. Una superficie plana es una superficie que yace pro igual sobre todas las líneas que contiene.

Definición 8. Un ángulo plano es la inclinación en un plano de una linea sobre otra con la que se encuentra y no forma línea recta.

Definición 9. Y cuando las líneas que comprenden el ángulo son rectas, el ángulo es rectilíneo.

Definición 10. Cuando una línea recta que está sobre otra hace que los ángulos adyacentes sean iguales, cada uno de los ángulos es recto, y las recta que está sobre la otra se llama una perpendicular a la otra.

Definición 11. Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto.

Definición 12. Un ángulo agudo es un ángulo menor que un ángulo recto.

Definición 13. Un borde es lo que es una extremidad de algo.

Definición 14. Una figura is lo que está comprendido por cualesquiera borde o bordes.

Definición 15. Un círculo es una figura plana comprendida por una sola línea [llamada circunferencia] tal que todos los segmentos trazados hasta ella desde uno de los puntos pertenecientes a la figura son iguales.

Definición 16. Y el punto se llama centro del círculo.

Definición 17. Un diámetro de un círculo es cualquier línea recta que pase por el centro y que termine en ambas direcciones en la circunferencia del círculo; esta línea también divide al círculo por la mitad.

Definición 18. Un semicírculo es la figura contenida por el diámetro y la circunferencia cortada por él. El centro de semicírculo es el mismo que el del círculo.

Definición 19. Figuras rectilíneas son aquellas formadas por líneas rectas. Triláteros las formadas por tres, cuadriláteros las formadas por cuatro y multiláteros las formadas por más de cuatro líneas rectas.

Definición 20. De los triángulos, el equilátero es el que tiene los tres lados iguales; el isósceles el que tiene dos lados iguales y uno desigual; y el escaleno,el que tiene los tres lados desiguales.

Definición 21. De los triángulos, el rectángulo es el que tiene un ángulo recto, el obtusángulo el que tiene un ángulo obtuso y acutángulo el que tieen los tres ángulos agudos.

Definición 22. De los cuadrilateros, el cuadrado es el que tiene los lados iguales y los ángulos rectos; el rombo el que es equilátero, pero no tiene los ángulos rectos; y el romboide el que tiene los lados y ángulos opuestos iguales, pero ni es equilátero ni tiene los ángulos rectos. Los demás cuadriláteros se llaman trapecios.

Definición 23. Rectas paralelas sona aquellas que, estando en un mismo plano, por más que se las prolonge en ambos sentidos nunca se encuentran.

Postulado 1. Por dos puntos distintos pasa una única recta.

Postulado 2. Un segmento rectilíneo puede ser siempre prolongado.

Postulado 3. Hay una única circunferencia con un centro y un radio dados.

Postulado 4. Todos los ángulos rectos son iguales.

Postulado 5. Si una secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores cuya suma es menor que dos rectos, las dos rectas, suficientemente prolongadas se cortan en este mismo lado.

Noción común 1. Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.

Noción común 2. Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales.

Noción común 3. Si de cosas iguales se sustraen cosas iguales, las diferencias son iguales.

Noción común 4. Si dos cosas coinciden con una tercera, entonces son iguales.

Noción común 5. El todo es mayor que su parte.

Proposición 1. Construir un triángulo equilátero sobre un segmento dado.

Proposición 2. Situar un segmento igual a uno dado con un extremo en un punto dado.

Proposición 3. Quitar del mayor de dos segmentos distintos dados un segmento igual al menor.

Proposición 4. Si dos triángulos dos lados respectivos iguales, y tienen los ángulos comprendidos iguales, entonces también tienen las bases iguales, los triángulos son iguales, y los ángulos restantes son iguales, concretamente los opuestos a los lados iguales.

Proposición 5. En triángulos isósceles los ángulos en la base son iguales y, si los lados iguales se prolongan, los ángulos bajo la base son iguales.

Proposición 6. Si en un triángulo dos ángulos son iguales, entonces los  lados opuestos a los ángulos iguales también son iguales.

Proposición 7. Dadas dos segmentos construidos desde los extremos de un segmento y convergentes en un punto, no pueden construirse desde los extremos del mismo segmento, y por el mismo lado, otros dos segmentos que se encuentren en otro punto y sean iguales a los dos segmentos, concretamente iguales a los que parten del mismo extremo.

Proposición 8. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y también tienen la base igual a la base, entonces también tienen iguales los ángulos comprendidos por los segmentos iguales.

Proposición 9. Bisecar un ángulo rectilíneo dado.

Proposición 10. Bisecar de un segmento dado.

Proposición 11. Levantar una perpendicular a un segmento dado desde un punto del mismo.

Proposición 12. Dibujar una perpendicular a una recta por un punto exterior a ella.

Proposición 13. Si un segmento está sobre otro, produce o ángulos rectos o ángulos que suman dos rectos.

Proposición 14. Si con una recta y un punto en ella, dos segmentos que no están en el mismo lado producen ángulos adyacentes que suman dos ángulos rectos, entonces los dos segmentos están en línea rectas el uno con el otro.

Proposición 15. Dos segmentos que se cortan el uno al otro producen ángulos opuestos iguales. Corolario. Si dos segmentos se cortan el el uno al otro, producen en la intersección ángulos que suman cuatro rectos.

Proposición 16. En cualquier triángulo, si se prolonga uno de los lados, el ángulo exterior es mayor o igual que el ángulo interior y los ángulos opuestos.

Proposición 17. En cualquier triángulo, la suma de cualesquiera dos ángulos es menor que dos rectos.

Proposición 18. En cualquier triángulo, el mayor ángulo es el opuesto al lado mayor

Proposición 19. En cualquier triángulo, el mayor lado es el opuesto al ángulo mayor.

Proposición 20. En cualquier triángulo la suma de cualesquiera dos lados  es mayor que el tercero.

Proposición 21. Si de los extremos de uno de las lados de un triángulo se construyen dos segmentos que se encuentre dentro del triángulo, entonces la suma de los lados así construidos es menor que la suma de los otros dos lados del triángulo, pero los segmentos así construidos comprenden un ángulo mayor que el comprendido por esos dos lados.

Proposición 22. Para construir un triángulo a partir de tres segmentos dados es necesairo que la suma de cualesquiera de los dos segmentos dados sea mayor que el del tercero.

Proposición 23. Construcción sobre un segmento dado y un punto sobre él un ángulo rectilíneo igual a un ángulo rectilíneo dado.

Proposición 24. Si dos triángulos tienen iguales dos lados, pero el ángulo comprendido en uno de ellos es mayor que el del otro, la base también será mayor.

Proposición 25. Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, pero la basees mayor en uno que en otro, entonces el ángulo comprendido es también mayor en uno que en el otro.

Proposición 28. Si un segmento corta a dos líneas haciendo el ángulo exterior igual al ángulo interior y opuesto sobre el mismo lado, o la suma de los ángulos interiores sobre el mismo lado es igual a dos rectos, entonces las dos líneas son paralelas.

Proposición 29. Una recta que corta a dos rectas paralelas hace los ángulos alternos iguales, los ángulos exteriores iguales a los interiores y opuestos, y la suma de los ángulos interiores por el mismo lado iguales a dos rectos.

Proposición 30. Las rectas paralelas a una recta dada también son paralelas entre sí.

Proposición 31. Construcción de una recta paralela a una dada por un punto dado.

Proposición 32. En cualquier triángulo, si uno de los lados se prolonga, entonces el ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores y opuestos, y la suma de los tres ángulos del triángulo es de dos rectos.

Proposición 33. Los segmentos que unen los extremos de segmentos iguales y paralelos en la misma dirección son también iguales y paralelos.

Proposición 34. Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales y las diagonales bisecan el área.

Proposición 35. Los paralelogramos sobre la misma base y están en la mismas paralelas son iguales.

Proposición 36. Los paralelogramos que tienen las bases iguales y están en las mismas paralelas son iguales.

Proposición 37. Los triángulos que están sobre la misma base y en las mismas paralelas son iguales.

Proposición 38. Triangles which are on equal bases and in the same parallels equal one another. Proposición 39. Triángulos iguales que están sobre la misma base y por el mismo lado están también en las mismas paralelas.

Proposición 40. Triángulos iguales con bases iguales y sobre el mismo lado están también en las mismas paralelas.

Proposición 41. Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está en las mismas paralelas, entonces el paralelogramo es el doble que el triángulo.

Proposición 42. Construcción con un ángulo dado de un paralelogramo igual a un triángulo dado. Proposición 43. En cualquier paralelogramo los complementos de los paralelogramos sobre la diagonal son iguales.

• La longitud del semicículo construido sobre AB es la suma de los construidos sobre AC y  CB.
• Tracemos CD, perpendicular a AB. El área del árbelos es igual al área de un círculo de diámetro CD.

• Si trazamos una recta tangente a los arcos AC y CB, los puntos de tangencia X e Y se encuentran en las rectas AD y BD. Además los segmentos XY y CD se cortan en sus puntos medios.
• Los círculos inscritos en las regiones ADC y BDC son iguales, por lo que se llaman círculos gemelos:

• El círculo mínimo que contiene a los dos círculos gemelos tiene el diámetro igual a BD y por tanto tiene el misma área que el árbelos.

• Si construimos un círculo tangente a los tres semicírculos y después construimos un círculo que pase por C y por los puntos de contacto U y V con los dos semicírculos menores, obtenemos otro circulo igual a los círculos gemelos.

(Esta la propiedad la descubrió el dentista y matemático aficionado Leon Bankoff.  En su artículo "Are the Twin Circles of Archimedes really twins?" respondía a esta pregunta que en realidad, no, no eran gemelos sino dos círculos de un conjunto de trillizos.

Consideremos un pintor que quiere crear un cuadro realista de un objeto. Al mirar al objeto, los rayos de luz reflejados en el objeto entran en el ojo. Si imaginamos una pantalla transparente entre el ojo del artista y el objeto, estos rayos de luz determinarán un conjunto de puntos que llamamos proyección del objeto sobre la pantalla.

En un esfuerzo por producir cuadros más realistas, muchos artistas del Renacimiento se interesaron en descubrir las leyes formales que controlan la construcción de proyecciones de objetos sobre una pantalla y, en el siglo XV, muchos de ellos crearon las bases de la teoría geométrica de la perspectiva.

La geometría proyectiva estudia las llamadas propiedades descriptivas de las figuras geométricas, como la pertenencia de un punto a una recta, que dos puntos estén alineados o que dos rectas se corten en un punto.  Estas propiedades se distinguen de las propiedades métricas, como las distancias entre puntos o los ángulos formados por dos rectas. La diferencia entre los dos tipos de propiedades queda clara si tenemos en cuenta que cuando proyectamos una figura, el resultado no tiene porque ser del mismo tamaño (no se conservan las distancias); incluso la forma también ha cambiado (no se conservan los ángulos).

Dualidad

El principio de dualidad afirma que a partir de cualquier teorema o construcción de geometría proyectiva podemos obtener otro, llamado teorema dual, sin más que intercambiar las palabras punto y recta, modificando también las relaciones entre los puntos y las rectas. Entonces, por este principio,

• Un punto se convierte en una recta.
• Puntos alineados se convierten en rectas que pasan por un punto.
• Rectas tangentes se convierten en el punto de tangencia.
• Un circulo circunscrito se convierte en un círculo inscrito.
• ...

Centros de homotecia de dos circunferencias
Potencia de un punto respecto de una circunferencia
Eje radical de dos circunferencias
Centro radical de tres circunferencias
Inversion. Polo y Polar

Consideremos dos circunferencias no concéntricas, con centros P y Q.

Dibujamos los radios paralelos PA y QB con el mismo sentido. Uniendo los extremos de los radios, es decir, mediante las rectas AB y PQ obtenemos el punto K, conocido como punto centro de homotecia externo de las dos circunferencias.

Potencia de un punto respecto de una circunferencia

Si desde un punto P trazamos una secante a una circunferencia C con centro O, que corta a ésta en los puntos A y B, el producto PA·PB se mantiene constante independientemente de la secante trazada. A este producto se le llama potencia del punto P respecto de la circunferencia C.

Eje radical de d