Euler
(Leonhard Euler, 1707-1783) se dio cuenta de que el baricentro, el circuncentro
y el ortocentro de un triángulo están alineados.
Se llama recta de Euler de un triángulo
a la recta que contiene a su baricentro, circuncentro y ortocentro.
En la siguiente figura, sean M y N los puntos medios de
los lados AC y BC respectivamente. Entonces AM y BN son
dos medianas del triángulo ABC. Sea G el punto
donde se cortan y sean Q y R los puntos medios de los segmentos
AG y BG, respectivamente.
MN es una línea paralela a AB que divide a los otros
lados AC y BC por la mitad. Por ello, la longitud de MN
es la mitad de la longitud AB. A QR le ocurre lo mismo en
el triángulo ABG. Al ser entonces QR y MN
son iguales y paralelos. Por tanto MNQR es un paralelogramo. Como
las diagonales de un paralelogramo se cortan en sus respectivos puntos
medios, deducimos que AQ = QG = GM. Por tanto G es
un punto de trisección de ambas medianas AM y BN,
y de forma similar, de la mediana que pasa por C. A G se le llama
baricentro, lo que los físicos llaman centro de gravedad
del triángulo considerado como una lámina delgada de densidad
uniforme.
El circuncentro O es el centro de la circunferencia circunscrita
al triángulo. Hay sólo una circunferencia circunscrita
a un triángulo, ya que una circunferencia queda determinada por
tres puntos. El circuncentro es el único punto que está
a la misma distancia de los tres vértices, por lo que coincide
con la intersección de las tres mediatrices del triángulo.
Recordemos que se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular
a éste que pasa por el punto medio.En la siguiente figura se
han trazado el triángulo ABC, la mediana CM que
contiene el baricentro G y la circunferencia circunscrita con
centro O.
Sobre la misma figura hemos trazado un punto H cumpliendo la igualdad
HG = 2·GO. Como también se cumple que CG
= 2·GM, por ser G el baricentro, los triángulos
GCH y GMO son semejantes, por lo que los ángulos
GCH y GMO son iguales. Que éstos ángulos
sean iguales, nos lleva a que CH es paralela a OM y perpendicular
a AB (recordemos que OM es una parte de la mediatriz del segmento
AB). Entonces, CH es (también parte) de la altura
que pasa por C. Al estar H determinado únicamente por
P y G, podemos repetir el procedimiento con AH
y BH y obtener:
- Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto H.
- El ortocentro H, el baricentro G y el circuncentro O están
alineados. A la recta que los continene se la conoce como recta
de Euler.
- G es un punto de trisección del segmento HO.
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