Bella Geometría

	Circunferencias de Apolonio

	Nota: aparte de las circunferencias tratadas aquí, hay otras circunferencias de Apolonio que aparecen al resolver el llamado problema de Apolonio. Apolonio (Apolonio de Perga, 262-190 a.C.), estableció que: El lugar geométrico de los puntos cuya distancia desde un punto fijo es un múltiplo de su distancia desde otro punto fijo es una circunferencia. Por ejemplo, si dados los puntos A y B, queremos hallar los puntos que distan de B el doble que de A, podemos hacer la construcción siguiente. Obtenemos P, uno de los puntos buscados, como intersección de circunferencias con centros A y B, siendo el radio de la última el doble que el de la primera. Ahora hallamos las bisectrices interior y exterior del ángulo APB que cortan a la recta AB en los puntos C y D, extremos del diámetro de la circunferencia buscada. En la siguiente figura podemos ver la circunferencia de Apolonio que se obtiene al considerar los puntos que distan de A el doble que de B. Las circunferencias concéntricas nos permiten calcular puntos de la circunferencia de Apolonio: Así, C dista 4 unidades de A y 2 de B; D dista 6 unidades de A y 3 de B, etc. Estos puntos determinan la circunferencia buscada. Circunferencias de Apolonio en un triángulo Dado un lado de un triángulo y la razón de longitudes de los otros dos lados, el lugar geométrico del tercer vértice es el círculo de Apolonio, cuyo centro esta en la extensión del lado dado. Para un cierto triángulo, hay tres circunferencias de Apolonio. En la figura siguiente se muestran las tres circunferencias de Apolonio del triángulo ABC. Puede observarse en la figura que, por ejemplo, el centro U de uno de los círculos es la intersección de la recta tangente en el punto A a circunferencia circunscrita con la prolongación del lado opuesto BC. De forma análoga pueden obtenerse los centros V y W de las otras circunferencias. Recta de Lemoine En la figura anterior puede apreciarse que los centros de las circunferencias Apolonio de un triángulo están alineados. La recta que los contiene se llama recta de Lemoine (Emile Michel Hyacinthe Lemoine 1840-1912).

Circunferencias de Apolonio

Nota: aparte de las circunferencias tratadas aquí, hay otras circunferencias de Apolonio que aparecen al resolver el llamado problema de Apolonio.

Apolonio (Apolonio de Perga, 262-190 a.C.), estableció que:

El lugar geométrico de los puntos cuya distancia desde un punto fijo es un múltiplo de su distancia desde otro punto fijo es una circunferencia.

Por ejemplo, si dados los puntos A y B, queremos hallar los puntos que distan de B el doble que de A, podemos hacer la construcción siguiente. Obtenemos P, uno de los puntos buscados, como intersección de circunferencias con centros A y B, siendo el radio de la última el doble que el de la primera. Ahora hallamos las bisectrices interior y exterior del ángulo APB que cortan a la recta AB en los puntos C y D, extremos del diámetro de la circunferencia buscada.

En la siguiente figura podemos ver la circunferencia de Apolonio que se obtiene al considerar los puntos que distan de A el doble que de B. Las circunferencias concéntricas nos permiten calcular puntos de la circunferencia de Apolonio:

Así, C dista 4 unidades de A y 2 de B; D dista 6 unidades de A y 3 de B, etc. Estos puntos determinan la circunferencia buscada.

Circunferencias de Apolonio en un triángulo

Dado un lado de un triángulo y la razón de longitudes de los otros dos lados, el lugar geométrico del tercer vértice es el círculo de Apolonio, cuyo centro esta en la extensión del lado dado. Para un cierto triángulo, hay tres circunferencias de Apolonio.

En la figura siguiente se muestran las tres circunferencias de Apolonio del triángulo ABC. Puede observarse en la figura que, por ejemplo, el centro U de uno de los círculos es la intersección de la recta tangente en el punto A a circunferencia circunscrita con la prolongación del lado opuesto BC. De forma análoga pueden obtenerse los centros V y W de las otras circunferencias.

Recta de Lemoine

En la figura anterior puede apreciarse que los centros de las circunferencias Apolonio de un triángulo están alineados. La recta que los contiene se llama recta de Lemoine (Emile Michel Hyacinthe Lemoine 1840-1912).