Bella Geometría

	Conceptos sobre círculos

	Aquí vemos los conceptos necesarios para entender una de las formas de resolver el problema de Apolonio para tres círculos. Centros de homotecia de dos circunferencias Potencia de un punto respecto de una circunferencia Eje radical de dos circunferencias Centro radical de tres circunferencias Inversion. Polo y Polar Centros de homotecia de dos circunferencias Consideremos dos circunferencias no concéntricas, con centros P y Q. Dibujamos los radios paralelos PA y QB con el mismo sentido. Uniendo los extremos de los radios, es decir, mediante las rectas AB y PQ obtenemos el punto K, conocido como punto centro de homotecia externo de las dos circunferencias. Si dibujamos los radios PA y QC, al unir los extremos AC y PQ obtenemos el punto H, conocido como centro de homotecia interno de las dos circunferencias. Potencia de un punto respecto de una circunferencia Si desde un punto P trazamos una secante a una circunferencia C con centro O, que corta a ésta en los puntos A y B, el producto PA·PB se mantiene constante independientemente de la secante trazada. A este producto se le llama potencia del punto P respecto de la circunferencia C. Llamando d a la distancia del punto P al centro O y r al radio de la circunferencia, se obtiene, si P es exterior a la circunferencia, Pot(P, C) = d² - r² mientras que si P es interior: Pot(P, C) = r² - d² Eje radical de dos circunferencias El eje radical de dos circunferencias no concéntricas (la recta que aparece en rojo en las figuras siguientes) está formado por los puntos cuya potencia es la misma respecto de las dos circunferencias. Cuando las circunferencias no se cortan (imagen de la izquierda), una forma de trazar el eje radical es dibujar dos circunferencias que corten a las dos circunferencias dadas y unir los puntos de intersección como se muestra en la figura. Cuando las circunferencias son secantes (imagen de la derecha), el eje radical es la recta que pasa por los dos puntos de intersección. Como caso límite de este último, si las circunferencias son tangentes, el eje radical será la perpendicular común a ambas circunferencias. Centro radical de tres circunferencias Dadas tres circunferencias, si trazamos los ejes radicales de las circunferencias dos a dos, veremos que los tres ejes radicales se cortarán en un punto, que se llama centro radical de las tres circunferencias. Inversión. Polo y Polar. Consideremos una circunferencia cualquiera, con centro un punto O. La inversión con centro O es una transformación del plano definida como sigue: Si P es un punto exterior a la circunferencia, trazamos una tangente PR a dicha circunferencia y proyectamos R sobre la semirrecta OP para obtener el punto Q, el punto inverso de P. De forma recíproca, si Q es un punto interior a la circunferencia, levantamos sobre OQ una perpendicular que corta a la circunferencia en R. Ahora, una perpendicular a OR corta a la recta OQ en P. Esta transformación, estudiada por Jakob Steiner, es muy útil en algunas demostraciones geométricas. Asociados a la inversión están los conceptos de polo de una recta respecto de una circunferencia y de polar de un punto respecto de una circunferencia: si Q es el inverso de P, a la perpendicular a OQ que pasa por P se le llama polar del punto Q y de la misma forma Q es el polo de dicha recta.

Conceptos sobre círculos

Aquí vemos los conceptos necesarios para entender una de las formas de resolver el problema de Apolonio para tres círculos.

Centros de homotecia de dos circunferencias
Potencia de un punto respecto de una circunferencia
Eje radical de dos circunferencias
Centro radical de tres circunferencias
Inversion. Polo y Polar

Centros de homotecia de dos circunferencias

Consideremos dos circunferencias no concéntricas, con centros P y Q.

Dibujamos los radios paralelos PA y QB con el mismo sentido. Uniendo los extremos de los radios, es decir, mediante las rectas AB y PQ obtenemos el punto K, conocido como punto centro de homotecia externo de las dos circunferencias.

Si dibujamos los radios PA y QC, al unir los extremos AC y PQ obtenemos el punto H, conocido como centro de homotecia interno de las dos circunferencias.

Potencia de un punto respecto de una circunferencia

Si desde un punto P trazamos una secante a una circunferencia C con centro O, que corta a ésta en los puntos A y B, el producto PA·PB se mantiene constante independientemente de la secante trazada. A este producto se le llama potencia del punto P respecto de la circunferencia C.

Llamando d a la distancia del punto P al centro O y r al radio de la circunferencia, se obtiene, si P es exterior a la circunferencia, Pot(P, C) = d² - r² mientras que si P es interior: Pot(P, C) = r² - d²

Eje radical de dos circunferencias

El eje radical de dos circunferencias no concéntricas (la recta que aparece en rojo en las figuras siguientes) está formado por los puntos cuya potencia es la misma respecto de las dos circunferencias.

Cuando las circunferencias no se cortan (imagen de la izquierda), una forma de trazar el eje radical es dibujar dos circunferencias que corten a las dos circunferencias dadas y unir los puntos de intersección como se muestra en la figura.
Cuando las circunferencias son secantes (imagen de la derecha), el eje radical es la recta que pasa por los dos puntos de intersección.
Como caso límite de este último, si las circunferencias son tangentes, el eje radical será la perpendicular común a ambas circunferencias.

Centro radical de tres circunferencias

Dadas tres circunferencias, si trazamos los ejes radicales de las circunferencias dos a dos, veremos que los tres ejes radicales se cortarán en un punto, que se llama centro radical de las tres circunferencias.

Inversión. Polo y Polar.

Consideremos una circunferencia cualquiera, con centro un punto O. La inversión con centro O es una transformación del plano definida como sigue: Si P es un punto exterior a la circunferencia, trazamos una tangente PR a dicha circunferencia y proyectamos R sobre la semirrecta OP para obtener el punto Q, el punto inverso de P. De forma recíproca, si Q es un punto interior a la circunferencia, levantamos sobre OQ una perpendicular que corta a la circunferencia en R. Ahora, una perpendicular a OR corta a la recta OQ en P.

Esta transformación, estudiada por Jakob Steiner, es muy útil en algunas demostraciones geométricas.

Asociados a la inversión están los conceptos de polo de una recta respecto de una circunferencia y de polar de un punto respecto de una circunferencia: si Q es el inverso de P, a la perpendicular a OQ que pasa por P se le llama polar del punto Q y de la misma forma Q es el polo de dicha recta.