Bella Geometría

	Apolonio: Dos rectas y una circunferencia

	En este caso, el problema de Apolonio consiste en: Dadas dos rectas y una circunferencia, hallar una circunferencia que sea tangente a las dos rectas y a la circunferencia. Supongamos en primer lugar que la circunferencia está comprendida entre dos rectas. Entonces, a ambos lados de una de las rectas construimos rectas paralelas a una distancia igual a la del radio de la circunferencia dada. Hallamos el simétrico O' del centro O de la circunferencia dada respecto de la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas. La recta OO' corta en M a una de las paralelas auxiliares anteriormente trazadas. Calculamos los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la circunferencia OO' trazadas desde el punto M. Trazamos un arco con centro M que pase por esos puntos de tangencia y corte a la paralela utilizada en los puntos A y B. Por los puntos A y B levantamos perpendiculares que cortan a la bisectriz en los puntos P y Q, centros de dos de las circunferencias buscadas. Las otras dos circunferencias solución del problema se obtienen repitiendo el procedimiento anterior con la otra paralela. En el caso de que la circunferencia dada sea tangente a una de las rectas, también hay cuatro soluciones, dos de las cuales, las que corresponden a la paralela auxiliar exterior se obtienen como antes. Las otras dos se reducen caso de dos rectas que se cortan, conocido el punto de tangencia de una de ellas (dos rectas y un punto).

Apolonio: Dos rectas y una circunferencia

En este caso, el problema de Apolonio consiste en:

Dadas dos rectas y una circunferencia, hallar una circunferencia que sea tangente a las dos rectas y a la circunferencia.

Supongamos en primer lugar que la circunferencia está comprendida entre dos rectas. Entonces, a ambos lados de una de las rectas construimos rectas paralelas a una distancia igual a la del radio de la circunferencia dada. Hallamos el simétrico O' del centro O de la circunferencia dada respecto de la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas. La recta OO' corta en M a una de las paralelas auxiliares anteriormente trazadas. Calculamos los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la circunferencia OO' trazadas desde el punto M. Trazamos un arco con centro M que pase por esos puntos de tangencia y corte a la paralela utilizada en los puntos A y B. Por los puntos A y B levantamos perpendiculares que cortan a la bisectriz en los puntos P y Q, centros de dos de las circunferencias buscadas. Las otras dos circunferencias solución del problema se obtienen repitiendo el procedimiento anterior con la otra paralela.

En el caso de que la circunferencia dada sea tangente a una de las rectas, también hay cuatro soluciones, dos de las cuales, las que corresponden a la paralela auxiliar exterior se obtienen como antes. Las otras dos se reducen caso de dos rectas que se cortan, conocido el punto de tangencia de una de ellas (dos rectas y un punto).