Apolonio: punto recta y circunferencia
  En este caso, el problema de Apolonio consiste en:
Dados un punto, una recta y una circunferencia, hallar una circunferencia que pase por el punto y sea tangente tanto a la recta como a la circunferencia.
En el caso de que el punto no esté ni en la recta ni en la circunferencia, el problema puede tener  cuatro soluciones. En la figura siguiente hemos trazado una perpendicular a la recta dada que pasa por el centro de la circunferencia dada. Esta recta determina el diámetro AB en la circunferencia dada y corta en M a la recta dada.

Comenzamos hallando una circunferencia (azul, pequeña) que pasa por B, M y el punto dado P.
Unimos A con el punto P y obtenemos el punto Q sobre esa circunferencia. Ahora recurrimos al caso del problema de Apolonio para la recta dada y los puntos P y Q (dos puntos y una recta), y obtenemos dos de las circunferencias buscadas (en color magenta). Las otras dos circunferencias buscadas (en color rojo en la figura), se obtienen intercambiado los papeles de los extremos A y B del diámetro obtenido en la circunferencia dada.

A continuación se muestra la construcción en el caso en que el punto dado P esté en la recta dada:

Los centros H y K de las circunferencias buscadas estarán en la perpendicular por el punto P a la recta dada. Para obtenerlos, trazamos un diámetro AB perpendicular a la circunferencia dada. Al unir A y B con P obtenemos los puntos de tangencia M y N, respectivamente. Uniendo M y N con el centro de la circunferencia dada, resultan los puntos H y K.

Por último, veamos el caso en que el punto dado P está en la circunferencia dada.

En este caso, los centro H y K de las dos circunferencias solución estarán en la recta que une el centro de la circunferencia dada y el punto de tangencia P. De nuevo, trazamos un diámetro AB y unimos sus extremos con el punto P. De esta forma obtenemos los puntos M y N sobre la recta dada. Sobre esos puntos levantamos perpendiculares a la recta dada que determinarán los puntos H y K sobre la recta que une el punto P y el centro de la circunferencia dada.