Apolonio: Dos puntos y una recta
  Este caso del problema de Apolonio consiste en
Dados dos puntos y una recta, hallar una circunferencia que pase por los dos puntos y sea tangente a la recta.
Si los dos puntos dados  A y B están en una recta paralela a la recta dada, el punto de tangencia con la recta se obtendrá al cortar con la mediatriz del segmento AB. Ahora sólo se trata de hallar la circunferencia que pasa por tres puntos:

Otra posibilidad es que, siendo los puntos exteriores a la recta dada, estén ambos en el mismo lado y no estén en una paralela a dicha recta:

Análisis: La recta AB es el eje radical de las dos circunferencias buscadas, y también de cualquier par de circunferencias que pasen por A y B. Cualquier punto M del la recta AB tendrá la misma potencia respecto de dos de esas circunferencias, es decir las tangentes desde M medirán lo mismo. Si tomamos como M el punto de intersección de AB con la recta dada, entonces M será el punto medio de la tangente común PQ a las dos circunferencias buscadas. La distancia MP = MQ será igual a la longitud de la tangente MT de la tangente des M a cualquier circunferencia que pase por A y B, por ejemplo la cirucunferencia con diámetro AB.

Construcción: Unimos los puntos A y B dados y prolongamos hasta cortar a la recta dada en M. Trazamos la circunferencia con diámetro AB, y seguidamente una tangente a ésta desde M. Siendo T  el punto de tangencia, con centro M y radio MT trazamos una semicircunferencia que corta a la recta dada en dos puntos P y Q. Por estos puntos pasan las circunferencias buscadas, habiendo entonces en este caso dos soluciones. Los centros de dichas circunferencias se encontrarán trazando perpendiculares por P y Q a la recta dada y hallando su intersección con la mediatriz de AB.

Por último, consideremos el caso en el que uno de los dos puntos, digamos B, está en la recta dada.

Para obtener el centro de la única circunferencia posible, hallamos la intersección de la mediatriz del segmento AB con la perpendicular a la recta dada trazada por B.