Este
caso del problema de Apolonio consiste en
Dados dos puntos y una circunferencia,
hallar una circunferencia que pase por los dos puntos y sea tangente
a la circunferencia dada.
Si ninguno de los puntos dados A y B están
en la circunferencia dada, para que haya solución es necesario
que ambos sean exteriores o interiores. En ambos casos, la construcción
es similar y se muestra en las figuras siguientes:
Explicación:
Son dados una circunferencia (en trazo grueso) y dos puntos A y B. La
recta AB es el eje radical de las dos circunferencias buscadas (en rojo),
y también el eje radical de cualesquiera dos circunferencias
que pasen por A y B. Trazamos una circunferencia auxiliar (en negro)
que pasa por A y B de manera que corte a la circunferencia dada. El
eje radical de estas dos circunferencias corta a la recta AB en M, siendo
entonces M el centro radical de las dos circunferencias buscadas y de
la circunferencia dada. La longitud de las tangentes desde M a las tres
circunferencias debe ser la misma.
Si trazamos las tangentes MP y MQ desde M a la
circunferencia dada, MP y MQ también serán tangentes circunferencias
buscadas. Teniendo en cuenta que la recta que une los centros contiene
al punto de tangencia de dos circunferencias, para obtener los centros
de las circunferencias buscadas trazaremos rectas que unan P y Q con
el centro de la circunferencia dada, cortando a la mediatriz de AB
en dichos centros.
|
