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Apolonio:
Un punto y dos circunferencias
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Este
caso del problema de Apolonio consiste en
Dados un punto y dos circunferencias, hallar una circunferencia que sea tangente a las dos circunferencias y pase por el punto.Consideremos en primer lugar el caso en que el punto dado P sea exterior a ambas circunferencias. En ese caso hallamos los centros de homotecia directo H e inverso K. Llamamos A y B a los puntos de corte de las circunferencias con el segmento que une los centros de dichas circunferencias. A continuación, hallamos la circunferencia que pasa por los puntos A, B y P. El segmento que une el centro de homotecia H con el punto P determina otro punto M sobre la circunferencia ABP. Dos de las circunferencias buscadas (en color morado en la imagen se obtienen hallando las que son tangentes a cualquiera de las dadas y que pasan por los puntos P y M (ver el caso de dos puntos y una circunferencia). 
En el caso de que el punto dado P pertenezca a una de las circunferencias se resuelve también a partir de los los centros de homotecia H y K. Desde H trazamos una recta que pase por P, cortando a la otra circunferencia en M, que resulta ser el punto de tangencia de una de las circunferencias buscadas. Para encontrar el centro de esa circunferencia, hallamos la intersección de las rectas que unen los centros de las circunferencias con sus respectivos puntos de tangencia M y P. Para obtener la otra circunferencia, hacemos lo mismo con K, el otro centro de homotecia.
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