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Apolonio:
tres circunferencias
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| Consideremos
el interesante caso de las tres circunferencias. En general, dependiendo
de la posición relativa de las tres circunferencias, puede haber
hasta ocho soluciones. La siguiente figura, muestra esta situación
en la que se han obtenido ocho soluciones. En la figura, las ocho soluciones
aparecen coloreadas dos a dos, hecho que además de favorecer la visualización, tiene que ver con la forma de obtener las soluciones. 
¿Como se han obtenido estas soluciones? En primer lugar, calculamos los seis centros de homotecia (tres internos y tres externos) de los tres círculos. Estos seis puntos resultan estar en cuatro rectas. Tomamos una de estas rectas y hallamos el polo respecto de cada una de las tres circunferencias. Unimos el centro radical de las circunferencias con los tres polos y obtenemos los puntos de tangencia de las circunferencias buscadas con las circunferencias dadas. Ahora basta elegir convenientemente entre los seis puntos de tangencia encontrados para trazar dos circunferencias tangentes. Este mismo proceso se repite con las otras tres rectas determinadas por los centros de homotecia y obtenemos las ocho soluciones al problema de Apolonio. A continuación puedes ver una animación mostrando la construcción anterior.
Si los círculos de partida son mutuamente tangentes, entonces
las ocho soluciones se confunden en dos, llamadas circunferencias
de Soddy. |
