Los puntos aparecen normalmente como intersección de varias rectas o de varias circunferencias.
Podrás ver aquí los puntos de Fermat, Gergonne, Nagel y dos puntos de Malfatti.

Las rectas se obtienen tres o más puntos resultan estar alineados. Así nos encontramos la interesante recta de Euler, la recta de Lemoine o las rectas de Wallace-Simson.

El punto de Brianchon y la recta de Pascal pueden verse en la sección Teoremas.

Por último, las circunferencias de interés nos las econtramos cuando cuatro o más puntos resultan ser concíclicos. Esto ocurre de forma aplastante con la famosa Circunferencia de los  Nueve Puntos. Otras circunferencias aparecen como lugares geométricos (conjunto de puntos que cumplen una propiedad), como lo son las Circunferencias de Apolonio. Como solución a un determinado problema están las Circunferencias de Soddy y como circunferencias que cumplen una propiedad las Circunferencias de Miquel.

Aunque fuera solo por el nombre, también puedes echarle un vistazo a los triángulos de Napoleón.